La formulación de problemas y acertijos como recurso para despertar el interés por las matemáticas constituye, para quienes nos dedicamos a la divulgación, un desafío permanente. El verdadero reto consiste en presentarlos de manera adecuada a un público amplio, procurando que ni su dificultad ni los conocimientos previos que exigen se conviertan en una barrera insalvable. Esta tarea es comparable a la que enfrentamos los profesores al evaluar y al diseñar exámenes que permitan valorar con justicia los conocimientos y capacidades de los estudiantes.
En las redes sociales abundan los acertijos virales de escaso o nulo aporte, que con frecuencia terminan desalentando a quienes intentan resolverlos. Se trata de problemas tramposos o ambiguos, diseñados para ocultar algún truco artificioso que parece requerir magia más que razonamiento, o bien de ejercicios que no demandan capacidad matemática alguna. El resultado suele ser negativo: quienes fracasan en el intento acaban frustrados y se refuerza la falsa idea de que las matemáticas no están al alcance de todos.
Existen también acertijos que, aunque no son triviales, encierran una lógica brillante capaz de sorprendernos y de la cual podemos aprender mucho. Tal es el caso de los problemas que presentaba con regularidad el gran divulgador de las matemáticas Martin Gardner (1914–2010), quien durante tres décadas, entre 1956 y 1986, mantuvo en la revista Scientific American una célebre columna dedicada a los juegos matemáticos.
Algunos de los problemas publicados por Gardner fueron obra de Raymond Merrill Smullyan (1919–2017), considerado el más célebre creador de acertijos de todos los tiempos y conocido como el “Gandalf de las Matemáticas”, apelativo que se le dio por su aspecto físico.
Uno de los más conocidos es el «acertijo del prisionero», cuya autoría suele atribuirse a Raymond Smullyan. Un hombre se encuentra encerrado en una celda con dos puertas: una conduce a la muerte en la hoguera y la otra a la libertad. Frente a cada puerta hay un guardia. Uno de ellos dice siempre la verdad y el otro miente siempre, pero el prisionero no sabe cuál de ellos dice la verdad y cuál miente. Se le concede entonces la posibilidad de formular una única pregunta a uno de los guardias. ¿Qué pregunta debe hacer para identificar con certeza la puerta que conduce a la libertad?
La solución es más sencilla de lo que parece, aunque encierra una idea ingeniosa. El prisionero puede preguntar indistintamente a cualquiera de los dos guardias:
«¿Qué diría su compañero si le preguntara cuál puerta conduce a la libertad?»
Una vez obtenida la respuesta, deberá escoger la puerta contraria a la indicada. La clave está en comprender por qué ambos guardias, pese a responder de manera opuesta, terminan señalando la misma puerta. Analicemos el razonamiento paso a paso.
Si el prisionero formula la pregunta al guardia que siempre miente, este señalará la puerta de la hoguera, pues mentirá acerca de la respuesta que daría su compañero. Por otra parte, si se la formula al guardia que siempre dice la verdad, también señalará la puerta de la hoguera, ya que responderá sinceramente qué diría su compañero mentiroso. En ambos casos, por razones distintas, la respuesta recibida apunta a la puerta equivocada. Por lo tanto, el prisionero debe elegir la puerta contraria a la que le indiquen.
De los muchos acertijos de este tipo creados por Smullyan, he escogido uno muy especial para compartir con ustedes.
Se trata de un ingenioso problema diseñado por este autor y posteriormente popularizado por el matemático y filósofo George Boolos. Apareció por primera vez en el diario italiano La Repubblica el 16 de abril de 1992 y fue presentado más tarde en The Harvard Review of Philosophy en 1996 con el título «El acertijo lógico más difícil del mundo». Desde entonces ha sido difundido, analizado y discutido innumerables veces, dando lugar a diversas variantes que han incrementado todavía más su dificultad.
En una versión simplificada y adaptada para este artículo, el desafío consiste en identificar a dos poderosos empresarios llamados Vertancio y Falcracio mediante una única pregunta cuya respuesta solo puede ser SÍ o NO. Sabemos que Vertancio dice siempre la verdad y que Falcracio miente siempre. Sin embargo, existe una dificultad adicional: aunque ambos entienden perfectamente el español, responderán utilizando únicamente los monosílabos «BIS» y «PUM». Uno de ellos significa SÍ y el otro NO, pero no sabemos cuál es cuál.
Obsérvese que, si en lugar de responder «BIS» o «PUM» respondieran directamente SÍ o NO, identificar a cada uno de los empresarios resultaría trivial. Bastaría preguntar a cualquiera de ellos: «¿Te estoy hablando a ti?». Como la respuesta verdadera es necesariamente afirmativa, Vertancio respondería SÍ, mientras que Falcracio respondería NO. De este modo, una sola pregunta permitiría determinar inmediatamente la identidad del interrogado.
Ahora bien, si los empresarios responden únicamente con «BIS» o «PUM», el problema se complica considerablemente. Como ignoramos cuál de esas palabras significa SÍ y cuál significa NO, una pregunta tan simple como la anterior deja de ser útil. Es necesario idear una pregunta más sutil que pueda formularse indistintamente a cualquiera de los dos empresarios.
La lógica matemática proporciona una manera ingeniosa de superar esta dificultad. Para ello se recurre a una pregunta formada por dos proposiciones unidas mediante la expresión «si y solo si». Una afirmación de este tipo es verdadera cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad; es decir, cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas. Como veremos, esta construcción permite neutralizar simultáneamente el problema de la mentira y el desconocimiento del significado de las palabras «BIS» y «PUM». La pregunta es:
«¿“BIS” significa SÍ si y solo si te estoy hablando a ti?»
Veamos por qué esta pregunta es suficiente para descubrir la identidad de los empresarios. Las dos proposiciones son «BIS es SÍ» y «Te estoy hablando a ti». La proposición compuesta será verdadera cuando ambas sean verdaderas o cuando ambas sean falsas.
- Si el empresario preguntado es Vertancio y BIS significa SÍ, responderá «BIS», porque ambas proposiciones son verdaderas. Como Vertancio no miente, responde afirmativamente; y, puesto que BIS significa SÍ, su respuesta será «BIS».
- Si el empresario preguntado es Vertancio y BIS significa NO, también responderá «BIS». En este caso, la proposición «BIS es SÍ» es falsa, ya que hemos supuesto que BIS significa NO. En cambio, la proposición «Te estoy hablando a ti» es verdadera, porque la pregunta se le está formulando precisamente a Vertancio. Como una de las proposiciones es falsa y la otra verdadera, no tienen el mismo valor de verdad; por consiguiente, la proposición compuesta es falsa.
Ahora bien, Vertancio siempre dice la verdad. Por lo tanto, al preguntarle si la proposición compuesta es verdadera, debe responder negativamente, es decir, debe contestar «NO». Sin embargo, en este supuesto la palabra BIS significa precisamente «NO». Así pues, aunque su respuesta lógica es «NO», la palabra que pronuncia es «BIS». En consecuencia, la respuesta que escucharemos será nuevamente «BIS». - Si el empresario preguntado es Falcracio y BIS significa SÍ, responderá «PUM». En este caso, ambas proposiciones son verdaderas y, por consiguiente, la proposición compuesta también es verdadera. Pero Falcracio miente siempre, de modo que responde «NO». Como BIS significa SÍ, la palabra que significa NO es «PUM».
- Si el empresario preguntado es Falcracio y BIS significa NO, responderá «PUM». En este caso, una de las proposiciones es falsa y la otra verdadera, por lo que la proposición compuesta es falsa. Como Falcracio miente, responderá «SÍ»; y, puesto que BIS significa NO, la palabra que significa SÍ es «PUM».
Por lo tanto, una sola pregunta basta para identificar al empresario interrogado: si responde «BIS», será Vertancio; si responde «PUM», será Falcracio. Lo único que aún desconocemos es el significado de las palabras BIS y PUM.
Una segunda pregunta dirigida a Vertancio resuelve inmediatamente esta última incógnita:
«¿Te estoy hablando a ti, cierto?»
Dado que la respuesta verdadera es inequívocamente afirmativa y Vertancio nunca miente, responderá con la palabra que significa SÍ. Así, si contesta «BIS», concluiremos que BIS significa SÍ; y si contesta «PUM», concluiremos que PUM significa SÍ. En cualquiera de los dos casos quedará determinado también el significado de la otra palabra.
El caso que hemos estudiado es solo una muestra del ingenio que esconden los acertijos lógicos. Existen variantes considerablemente más complejas, pero todas comparten una misma idea: cuando las respuestas parecen inútiles, la clave está en formular la pregunta correcta.
@MantillaIgnacio
